lunes, 4 de junio de 2012

ANTECEDENTES HISTORICOS

"Antecedentes Históricos Del Calculo Diferencial"


El calculo diferencial es la rama de las matemáticas que comprende el estudio y de la aplicación del calculo.
el calculo diferencial se origino en el siglo XVII al realizar estudios sobre el movimiento, es decir, al estudiar la velocidad de los cuerpos al caer al vacio ya que cambia de un momento a otro; la velocidad en cada instante debe calcularse, teniendo en cuenta la distancia que recorre en un tiempo.


 En 1666, el científico ingles ISAAC NEWTON fue el primero en desarrollar métodos matemáticos, para resolver problemas de esta índole.  





newton abordo el desarrollo del calculo a partir de la geometria analitica desarrollando un enfoque geometrico y analitico de las derivadas matematicas aplicadas como curvas definidas a través de algunas ecuaciones.



RENE DESCARTES
 Filosofo, científico y matemático  francés contribuyo a la sistematizacion de la geometria analitica. ue el primer matematico en intentar clasificar por primera vez las rectas y curvas en un plano comforme al tipo de ecuaciones que las producen. asi mismo contribuyo a la  elavoracion de teoria de ecuaciones.

PIERRE FERMAT matematico frances, quien en su obra habla de los metodos diseñados para determinar los maximos y mínimos acercándose casi al descubrimiento del calculo diferencial, dicha obra influenzio a LEIBNIZ en su investigación.



Fermat dejo casi todos sus teoremas sin demostrar ya que en esa época era muy común entre los filósofos el planteamiento de problemas.














NUMEROS REALES

NÚMEROS REALES

Los números reales en su totalidad son todos los que conocemos en le cual solo hay dos tipos de números reales que son:


  • los números reales 
  • los números imaginarios
cualquier numero que se nos ocurra y  que se pueda localizar en la recta numérica horizontal, se dice que es un numero real, se dice que se representa mediante la R mayúscula.

Los números reales se pueden clasificar como racionales y se representan con la letra Q y los números irracionales se representan con QC.
  • números racionales
Si se necesita además dividir, surgen los números racionales (fraccionarios, o quebrados),
Q={... 1/2,  5/3,  8/10,  238476/98745, ...... }

por otro lado existen números que no se pueden localizar en la recta y estos son los números imaginarios y los representamos con I.
  • números irracionales
Hay números que no son racionales, es decir que no pueden ser expresados como cociente de dos números enteros. Por ejemplo, piensa en el número cuya representación decimal es
0.1234567891011121314151617181920........


todo numero racional se puede expresar en una fraccion  propia y fraccion impropia.






mas información:




SISTEMA DE COORDENADAS LINEALES Y RECTANGULARES

sistema de coordenadas lineales y rectagulares


Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores y puntos que permiten definir unívocamente la posición de cualquier punto de unespacio euclídeo o más generalmente variedad diferenciable.
En física se usan normalmente sistemas de coordenadas ortogonales. Unsistema de referencia, viene dado por un punto de referencia y un sistema de coordenadas. En mecánica newtoniana se emplean sistemas de referencia caracterizados por un punto denominado origen y un conjunto de ejes definen unas coordenadas.




Un punto cualquiera de una recta puede asociarse y representarse con un número real, positivo si está situado a la derecha de O, y negativo si esta a la izquierda. El centro de coordenadas O (letra O) corresponde al valor 0 (cero).
Corresponde a la dimensión uno, que se representa con el eje X, en el cual definimos un centro de coordenadas, que se representa con la letra O (de Origen), y un vector unitario en el sentido positivo de las x: .
Este sistema de coordenadas es un espacio vectorial de dimensión uno, y puede aplicarse todas las operaciones correspondientes espacios vectoriales; en ocasiones también se llama recta real.







sistema de coordenadas









INTERVALO

intervalo
Un intervalo  es un conjunto comprendido entre dos valores. Específicamente, un intervalo real es un subconjunto conexo de la recta real R, es decir, una porción de recta entre dos valores dados.



Intervalo abierto

No incluye los extremos.
  •  (a,b)\  o bien  ]a,b[\
  • Notación conjuntista o en términos de desigualdades:  \{x\in\R\,|\,a<x<b\}

intervalo cerrado
Sí incluye los extremos.
  •  [a,b]\
  • Notación conjuntista o en términos de desigualdades:   \{x\in\R\,|\,a\le x\le b\}


intervalo semiabierto
Incluye únicamente uno de los extremos.
  •  [a,b)\  o bien  [a,b[\ , notación conjuntista: \{x\in\R\,|\,a\le x<b\}
  •  (a,b]\  o bien  ]a,b]\ , notación conjuntista: \{x\in\R\,|\,a<x\le b\}








         intervalos



DESIGUALDAD

DESIGUALDAD

En matematicas una desigualdad es la relacion de falta de desigualdad entre dos cantidades o expreciones en la desigualdad, los terminos estan relacionados por un simbolo de "MAYOR QUE" (>) o "MENOR QUE"(<).

tambien existen otros derivados de estos dos, si alguno de estos dos simbolos aparece acompañado por una linea horizontal por debajo, significa "MAYOR O IGUAL QUE" o "MENOR O IGUAL QUE, respectivamente.


función inyectiva


una funcion "f" es inyectiva, univalente o uno-uno si y solo si cada f(x) en el recorrido es la imagen de exactamente un unico elemento del dominio, una funcion inyectiva es inyectiva si todos los elemntos del dominio tienen imagenes ditintas.






función sobreyectiva


sea "f" una funcion de A en B, f es una funcion sobreytectiva (tanbien llamada epiyectiva) si y solo si cada elemento de B es imagen de almenos un elemento de A, bajo el ismbolo f, o dicho en palabras mas sensillas, cuando cadaelemento de B es la imagen de como minimo un elento de A.






función biyectiva


sea f funcion de A en B, f es una funcion biyectiva si y solo si f es sobreyectiva e inyectiva a la vez.



desigualdad

DOMINIO Y CONTRADOMINIO


Dominio y contra dominio

dominio
El dominio de una función está ligado a la definición de función.
Una función es una relación que asigna a cada elemento de un conjunto X uno y sólo un elemento de un conjunto Y.
Al conjunto X se le llama dominio de la función y a sus elementos se les denomina también valores de entrada. La variable "x" es considerada la variable independiente y en el sistema coordenado se suele graficar en el eje horizontal.
El conjunto Y recibe el nombre de Contra dominio o Rango de la función y son los valores de salida. La variable "y" es la variable dependiente (depende de "x") y se grafica en el eje vertical, se le considera el valor de la función. Por eso se pone y = f (x)
Resulta sumamente práctico tener siempre en cuenta la definición de función, los conceptos de valores de entrada y de salida.


El DOMINIO de una función es el conjunto de todos los valores de entrada que al aplicar la función llevan a un valor de salida.
Esto automáticamente nos lleva a ciertas meditaciones con respecto a las funciones que queremos estudiar:
¿Cuáles de ellas tienen restricciones de dominio (hay uno o varios valores de entrada que no llevan a un valor de salida)?
¿Hay intervalos completos de valores de "x" donde no se tienen valores de salida?
¿Será característico el dominio de los diferentes tipos de funciones?
¿Cómo calcular estos valores de entrada que no dan valores de salida?
Sabiendo cómo son los intervalos abiertos, cerrados, semiabiertos e infinitos, podemos comenzar.
Si el dominio se refiere a todos los valores de entrada que llevan a un valor de salida en una función, entonces debemos preguntarnos cómo descubrir los valores de entrada en los diferentes tipos de funciones que no nos llevan a un valor de salida (interprétese esto, como si no se puede calcular el valor de la función). Estos valores tienen que ser excluidos del domin
io de la función.




Contradominio de una función:


  El conjunto de todos los valores resultantes

 de la variable dependiente “y”. Otros

nombres para éste son: recorrido (poco

 empleado en cálculo); ámbito (termino muy

 reciente para este concepto); imagen (muy 

utilizado en álgebra y teoría de conjuntos); 

y rango (muy empleado en cálculo).



dominio y contradominio






LIMITES


LIMITES

Límites DE UNA FUNCION
Sea f una función. Estamos interesados en el valor de la función f(x) cuando x se aproxima a un valor c, pero no es necesariamente igual a c. Esto es, ¿según x se aproxima más y más a c (pero x no es igual a c) se acerca f(x) más y más a un valor L? Si la respuesta es si, decimos que "f(x) tiende a L según x se aproxima a c", y se representa en forma simbólica de la forma:
La frase "x se aproxima a c" o "x tiende a c" significa que independientemente de lo próximo que esté x del valor c , existe siempre otro valor de x (distinto de c) en el dominio de f está aún más próximo a c .
Una función no puede tender a dos límites distintos a la vez. Esto es, si el límite de una función existe, es único.
En general calcular el límite de una función "normal", cuando x tiende a un número real, es fácil, basta aplicar las reglas de cálculo indicadas, sustituyendo la variable independiente por el valor real al que la x tiende.
No obstante, en ocasiones, nos podemos encontrar con sorpresas, por ejemplo, que la función no esté definida para el valor en el que queremos calcular el límite . Esta situación, es habitual, cuando el límite lo queremos calcular cuando x tiende a infinito.





caso cero sobre cero


La función no está determinada para x = 1, la razón es que el denominador se hace 0. Este tipo de indeterminaciones ocurre, cuando en el numerador y el denominador de la función, existe algún factor que se hace 0, este factor suele ser del tipo : x - valor para el que queremos calcular el límite. Si logramos eliminar, este factor del numerador y del denominador, se obtiene otra función , que toma los mismos valores en todos los puntos que no sean el punto en cuestión.
En este caso concreto, el punto es : x = 1.
La nueva función permite obtener los valores en las proximidades del punto de la indeterminación, que son los que permiten calcular el límite. En el caso concreto que nos ocupa, sería:







Cuando x crece indefinidamente, esta función es un cociente de dos cantidades que crecen indefinidamente. Se puede plantear la duda, de que si al crecer x indefinidamente, también lo hará :



caso infinito sobre infinito

puesto que sería la diferencia de dos cantidades que crecen indefinidamente, que es una indeterminación. Sacando factor común se transforma esta expresión en otra equivalente:









que crece indefinidamente, puesto que una cantidad que crece indefinidamente sigue creciendo indefinidamente aunque le restemos una cantidad constante y el producto de dos cantidades que crecen indefinidamente, también crece indefinidamente. Lo mismo ocurre con el denominador.


Como, al dividir numerador y denominador por una misma cantidad, distinta de 0, el valor de la fracción no cambia, sigue que:



Esta propiedad nos permite resolver este tipo de indeterminaciones. Se divide numerador y denominador por x, elevado al mayor de los expontentes con los que aparece en la función :





Hay un caso trivial, que ya hemos visto, sea:





Es la diferencia de dos cantidades que crecen indefinidamente, pero como :





Y a una cantidad que crece indefinidamente, le quitamos una cantidad constante y sigue creciendo indefinidamente y el producto de dos cantidades que crece indefinidamente, crece indefinidamente, está claro que:
Veamos ahora otra indeterminación de este tipo, pero algo más complicada:


Como en este caso no se puede sacar factor común, para eliminar la indeterminación, multiplicamos y dividimos la expresión por su conjugado.
El conjugado de una expresión, que es la diferencia de dos cantidades que crecen indefinidamente, es otra igual, excepto que en lugar de una diferencia, es una suma de dos cantidades que crecen indefinidamente. En este caso, será:




Aparece este tipo de indeterminación cuando aparecen dos funciones tales que:







limites de una función